Родился в Москве.
Брак родителей А.А. Андронова оказался недолгим и вскоре распался.
О своих семейных обстоятельствах А.А. Андронов в автобиографии 1951 года написал следующее: «Отца я не знаю, т.к. мать разошлась с отцом, когда мне было несколько месяцев и т.к. в дальнейшем отец не имел никакого отношения к жизни нашей семьи. Ряд лет наша семья (я, мать, сестра) жили в Москве на средства моего деда со стороны матери купца А.П. Калинина. После смерти деда – приблизительно в 1909 году, мать вышла замуж за врача К.А. Липского, - тогда ординатора Акушерской клиники Московского университета. Отчим К.А. Липский, вместе с которым я прожил свыше двадцати лет, заменил мне отца и в значительной мере благодаря его материальной поддержке я получил образование».
Во время Гражданской войны, после окончания Трудовой школы II ступени, Андронов работал браковщиком на Московском военном заводе «Пулемёт», затем служащим военно-продовольственного отряда (г. Москва, г. Троицк (Южный Урал)), лектором политотдела Красной Армии (Троицк).
В 1920 году из-за проблем со здоровьем был отчислен из политотдела и вернулся в Москву.
В 1920 году поступил в Московское высшее техническое училище (МВТУ) на электротехнический факультет.
Во время учебы в МВТУ он стал посещать лекции на физико-математическом факультете Московского государственного университета (I МГУ).
В 1923 году он перевелся в I МГУ, а в 1925 году окончил физико-математический факультет университета по специальности “Физика”.
В 1925 – 1929 годах обучался в аспирантуре по специальности «теоретическая физика» в НИИ физики при I МГУ у выдающегося ученого и педагога Л.И. Мандельштама.
В заключительной аспирантской работе «Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний» (1928), А.А. Андронов ввел в теорию колебаний методы качественной теории дифференциальных уравнений, созданной в трудах Анри Пуанкаре и А.М. Ляпунова для решения задач небесной механики.
Он показал, что незатухающие колебания в системах с одной степенью свободы, возникающие за счет непериодического источника энергии, имеют адекватный математический образ - это предельные циклы Пуанкаре.
Такие колебания были названы им автоколебаниями.
Они получили строгое математическое определение и, тем самым, появился принципиально новый путь теоретического исследования нелинейных автоколебательных систем, имеющих широкое распространение в различных науках и технике.
К числу таких систем относятся, например, часы, звонок, духовые и смычковые инструменты, генераторы электромагнитного излучения в приемно-передающих линиях связи, оптические квантовые генераторы (лазеры) и др.
Эти результаты, позволившие усовершенствовать ряд технических устройств и использованные в исследованиях многих других авторов, определили область дальнейшей научной деятельности А.А. Андронова – теория колебаний и смежные вопросы математики и теоретической физики.
При этом задачи из теории колебаний в теоретической радиотехнике и радиофизике стимулировали развитие качественной теории дифференциальных уравнений.
На этом пути в тридцатые годы А.А. Андроновым в соавторстве с Е.А. Леонтович, при участии Л.С. Понтрягина была создана теория бифуркаций (теория изменения качественной структуры) динамических систем на плоскости.
Ключевым моментом этой теории явилось понятие о грубых (структурно устойчивых) динамических системах.
С 1924 года еще, будучи студентом, начал вести педагогическую работу во II МГУ (позднее переименованный в Московский педагогический институт) в качестве ассистента (до 1929 г.), а затем в качестве доцента кафедры теоретической механики и физики до отъезда в 1931 году в Нижний Новгород.
В 1929 – 1931 годах работал в Москве научным сотрудником сначала во Всесоюзном электротехническом институте (ВЭИ), а затем в НИИ физики при I МГУ (НИИФ).
Осенью 1931 года вместе с женой Евгенией Леонтович переехал в Нижний Новгород на постоянное место жительства, где до конца жизни работал в Горьковском государственном университете (ГГУ) и НИФТИ (ГИФТИ).
Одной из причин переезда была его глубокая убежденность в государственной важности развития науки и образования в провинции.
Этой идее он оставался верен все последующие годы до конца жизни.
При этом он продолжал сотрудничество со своими московскими коллегами, выпуская совместные публикации, и периодически приезжая в Москву до 1938 года.
В ГГУ он создал курс лекций по теории колебаний, читал лекции по электродинамике, теории относительности и квантовой механике, а также занимался разработкой учебных планов и программ, регулярно проводил семинары.
По его приглашению для чтения лекций и отдельных курсов в Горьковский университет приезжали известные московские специалисты.
Он неустанно боролся за повышение качества преподавания, за высокие требования при защите диссертаций.
Его научная планка была весьма высока и для собственных учеников. Немало усилий он приложил к созданию в ГГУ хорошей библиотеки с новейшими научными изданиями.
В 1931 – 1949 годах заведовал отделом теоретической физики (теоретическим отделом) ГИФТИ, который в дальнейшем стал называться отделом теории колебаний и автоматического регулирования.
В 1934 году был утвержден в звании профессора, в 1935 году ему была присуждена степень доктора физико-математических наук без защиты диссертации.
В 1933 году организовал на физико-математическом факультете ГГУ кафедру физики колебаний, которая позднее явилась основой для создания кафедры теории колебаний и автоматического регулирования на радиофизическом факультете.
А. А. Андронов – один из организаторов этого факультета (1945), первого в стране факультета такого профиля, где были созданы специализации по теории колебаний и автоматическому регулированию, по распространению радиоволн и радиоастрономии, по электродинамике и электронике сверхвысоких частот, по статистической физике и др.
А.А. Андронов соавтор (вместе с А.А. Виттом и С.Э. Хайкиным, своими московскими коллегами) классической монографии «Теория колебаний», которая издавалась трижды в СССР, а потом в США на английском языке и в Германии на немецком языке.
Эта книга ознаменовала поворотный этап в учении о колебаниях – начало развития общей нелинейной теории. Первое издание вышло из печати в 1937 г., без фамилии Витта на обложке (А.А. Витт был репрессирован в 1937 г.; реабилитирован посмертно в 1956 г.).
С осени 1941 по ноябрь 1942 года был проректором ГГУ.
Во время Великой Отечественной войны работал со своими сотрудниками по заданиям конструкторских бюро и проектных организаций (ЦКБ 52, НИИ 11), главным образом в области борьбы с антенными и магнитными минами, магнитной защиты кораблей.
С 1944 года по совместительству работал в Московском институте автоматики и телемеханики АН СССР (ИАТ, ныне Институт проблем управления) в отделе автоматического регулирования.
Здесь нужно иметь в виду, что к 1944 году А.А. Андронову вместе с А.Г. Майером, Н.Н. Баутиным и Г.С. Гореликом удалось решить ряд трудных задач, связанных с нелинейными трехмерными системами автоматического регулирования.
Решающим моментом такого успеха, научным прорывом, явился метод точечных преобразований Пуанкаре-Брауэра-Биргофа, привлеченный Андроновым из качественной теории дифференциальных уравнений. Эти работы положили начало развитию нового направления – нелинейной теории автоматического регулирования.
По инициативе Андронова в московском институте был организован семинар, вскоре ставший знаменитым (собиравший от 40 до 60 участников), через который прошло почти все поколение лидеров ИАТ.
Темы докладов охватывали область всей современной теории управления, включая и западные работы военного времени.
В результате этой деятельности у Андронова в Москве появились ученики, в будущем выдающиеся специалисты в теории управления, в технической кибернетике: М.А. Айзерман, Я.З. Цыпкин, М.В. Мееров, В.В. Петров и др.
В работе семинара принимали участие и горьковчане, в частности Ю.И. Неймарк, впоследствии ставший одним из организаторов в 1963 году факультета ВМК (факультета Вычислительной Математики и Кибернетики) в Горьковском университете, первого факультета такого профиля в СССР.
В последние годы жизни А.А. Андронов начал активно интересоваться кибернетикой и быстродействующими вычислительными машинами.
По его инициативе в ГИФТИ были начаты работы, которые в дальнейшем, в пятидесятые годы, привели к созданию одной из первых в СССР вычислительных машин («Машины ГИФТИ»), а потом и вычислительного центра (ВЦ) в составе ГИФТИ.
А.А. Андронов внес существенный вклад в теорию нелинейных колебаний, в качественную теорию дифференциальных уравнений, в теорию бифуркаций динамических систем и в теорию автоматического регулирования, а также в историю теории автоматического регулирования.
Научные результаты, полученные им вместе с учениками и сотрудниками, стали классическими и в значительной степени составили основу современной нелинейной динамики.
Он известен в нашей стране и за рубежом как создатель школы мирового уровня по теории нелинейных колебаний и автоматическому регулированию, Горьковской школы А.А. Андронова.
Среди его аспирантов будущие известные учёные: А.С. Алексеев, Н.Н. Баутин, С.В. Беллюстин, И.Л. Бершнтейн, Н.В. Бутенин, Н.П. Власов, А.В. Гапонов-Грехов, С.А. Жевакин, Н.А. Железцов, Ю.А. Неймарк, Я.Н. Николаев, Н.Ф. Отроков, Н.А. Фуфаев.
Благодаря усилиям А.А. Андронова в Горьковском областном архиве была организована группа под его руководством, которой в результате кропотливой работы удалось установить место и дату рождения выдающегося русского математика Н.И. Лобачевского, а именно: г. Нижний Новгород, 20 ноября (по старому стилю) 1792 г. и ранее имеющиеся сведения по этим вопросам были противоречивы и не позволяли составить полноценную научную биографию ученого.
По инициативе А.А. Андронова уже после его смерти Указом Президиума Верховного Совета СССР от 20 марта 1956 года Горьковскому университету (ГГУ) было присвоено имя Н.И. Лобачевского.
Академик АН СССР (1946).
Депутат Верховного Совета РСФСР 2-го созыва (1947-1950).
Депутат Верховного Совета СССР 3-го созыва (1950-1951).
Жил в городе Горьком, похоронен на Бугровском кладбище.
Награды: орден Красной Звезды (04.11.1944).
Память: в Нижегородском районе Нижнего Новгорода на доме № 10 по улице Ульянова, где он работал, установлена мемориальная доска.
В 1969 году Президиум Академии наук СССР учредил премию им. А.А. Андронова, за выдающиеся работы в области классической механики и теории управления.